【受験生必見!!】「部分積分」を一瞬でやる裏技

さて全然更新していない当ブログ。周期表の覚え方を記載しているためか毎月のべ100人程度はアクセスしてくれているようです。そこで今回は高校生向けにもう一つ記事を書きたいと思います。テーマは瞬間部分積分。部分積分を一瞬でやるテクニックで、割と便利な方法なので、受験生だけでなく理系大学生も必見です！

部分積分の復習

まずは部分積分の復習です。部分積分とはいわゆる"積の微分法"の逆にあたり、関数の積を積分する際の計算方法のことでです。"積の積分法"といってもいいかもしれません。

▶︎ 積の微分法
$\frac{d}{dx}(\ f\left(x\right) g\left(x\right) )= f^{\prime}g + fg^{\prime}\tag{1}\label{1}$

　これは"微分そのまま+そのまま微分"なんて言って覚えるといいですよね。

▶︎部分積分
　上の式(1)を移項して
$fg^{\prime} = \frac{d}{dx}(\ f\left(x\right) g\left(x\right) ) - f^{\prime}g\tag{2}\label{2}$
　これを両辺xで積分してやると
$\int fg^{\prime}dx = f g - \int f^{\prime}g dx\tag{3}\label{3}$
　という部分積分の公式が出てきます。
　こちらは"積分した後マイナス微分"などと覚えるといいかもしれません。

例えば $x\sin x$ を積分しろと言われた場合、
\begin{eqnarray}\int x\sin x\ dx &=& x \ (-\cos x) - \int \ (-\cos x) \ dx \\
&=& -x \cos x+\sin x+const.\tag{4}\label{4}\end{eqnarray}

となります。

部分積分の繰り返し

では
\begin{equation*}
\int x^{2} sinx\ dx
\end{equation*}

はどうやって解けば良いでしょうか。

手元にPCがあれば WolframAlpha を使って

f:id:mennmabacon:20210413222244p:plain

x^2sinx integral - Wolfram|Alpha

のように答えを教えてもらいますが、なければ部分積分を繰り返し使って
\begin{eqnarray}
\int x^{2} sinx\ dx &=& -x^{2} cosx-\int ( -2xcosx) dx\\
&=& -x^{2} cosx+2x\ sinx-\int 2sinxdx\\
&=& -x^{2} cosx+2x\ sinx+2cosx+const.\tag{5}\label{5}
\end{eqnarray}

として解くのが一般的でしょう。しかしこれを
\begin{equation*}
\int x^{2} sinx\ dx=-x^{2} cosx+2x\ sin x+2cosx+const.\tag{6}\label{6}
\end{equation*}

のように一気に解けないでしょうか。そこで登場するのが瞬間部分積分です。

瞬間部分積分

瞬間部分積分とは、部分積分の繰り返しを一気に行う方法です。

関数 $f$ の $n$ 回微分を $f_{n}$ 、関数 $g$ の $n$ 回積分を $G_{n}$ とすると、部分積分の繰り返しは
\begin{eqnarray}
\int fg\ dx&=&fG_{1} -\int f_{1} G_{1}\\
&=&fG_{1} -f_{1} G_{2} +\int f_{2} G_{2}\\
&=&fG_{1} -f_{1} G_{2} +f_{2} G_{3} -f_{3} G_{4} +......\\
&=&\sum _{j=0}^{\infty }( -1)^{\ j}\ f_{j} G_{j+1}\tag{7}\label{7}
\end{eqnarray}